十一个三角函数的物理应用及巧计方法

三角函数基本公式巧计


下面简要整理十一个方面的在高中物理、高中物理竞赛中三角函数方面需要记忆的公式及记忆技巧,并简单列举了某些公式的应用场景。

一、和差角公式

和差角基本公式
$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$
$\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta$
$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$
$\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$
$\tan (\alpha-\beta)= \frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$

瘦瘦的妹妹(sin)与圆圆的哥哥(cos)性格不相同,妹妹(sin)喜欢哥哥妹妹在一起玩(异名成积),但是哥哥(cos)喜欢男生一起玩,女生一起玩(同名成积),妹妹温顺守规矩(前后符号一致),哥哥调皮不守规矩(前后符号不一致)。

二、二倍角公式

二倍角公式
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha -1=1-2\sin^2 \alpha$
$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}$

将和差角公式里面的$\beta$换成$\alpha$即可得到上面的关系式。

三、降幂公式

降幂公式
$\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha)$
$\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)$
$\tan^2 \alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$

上面的关系是用二倍角公式$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha -1=1-2\sin^2 \alpha$直接推导而来。

四、半角公式

半角公式
$\sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{(\frac{1-\cos \alpha }{2})}$
$\cos \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{(\frac{1+\cos \alpha }{2})}$
$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}}$

通过半角公式和倍角公式可以看出,降幂导致倍角,角度减半会导致升幂。

五、和差化积公式

和差化积公式记忆口诀
$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$正加正,正在前
$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}$正减正,余在前
$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta }{2}$余加余,余并肩
$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}$余减余,负正弦

六、积化和差公式

积化和差公式
$\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha +\beta )]$
$\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha +\beta )]$
$\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$
$\sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

记忆积化和差公式最好的办法就是把一、和差角公式熟记于心,然后就能做到很熟练地写出积化和差公式。

七 、辅助角公式

辅助角公式其中
$a \sin\alpha + b\cos \alpha=\sqrt{a^2 +b^2}\sin (\alpha+\varphi)$$\tan \varphi =\frac{b}{a}$

提醒一下,$\tan \varphi=\frac{b}{a}$中的分子$b$是$\cos \alpha $的系数,分母$a$是$\sin \alpha$的系数。

八 、万能公式

万能公式
$\sin \alpha =\frac{2 \tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$
$\cos \alpha =\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$
$\tan \alpha =\frac{2 \tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$

万能公式可以把异名三角函数都化成含有$\tan \frac{\alpha}{2}$的代数式,我们可通过$t=\tan \frac{\alpha}{2}$的代换,将三角函数式化成有理分式,方便后面例如积分等运算。

例如,求下面的积分

例题(点击展开)

$$ \int \frac{1+\sin x}{\sin x (1+\cos x)}dx $$

直接求不好求,我们可利用万能公式化简,令$t=\tan \frac{\alpha}{2}$,则$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$,将$\sin \alpha =\frac{2 \tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$和$\cos \alpha =\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$带入上式,得:

$$ 原式=\frac{1}{2}\int(t+2+\frac{1}{t})dt=\frac{1}{2}(\frac{t^2}{2}+2t+\ln |t|+C) $$

积分完成后还需要把变量$t$换回来:

$$ 原式=\frac{1}{4}\tan^2 \frac{x}{2}+\tan \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |\tan \frac{x}{2}|+C $$

九、欧拉公式

欧拉公式
$e^{\pm ix}=\cos x \pm i\sin x$
$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$
$e^{ix}-e^{-ix}=2i \sin x$

欧拉公式常用于波的叠加运算等,在物理中,我们常常设波的解为$\varphi=Ae^{i(\omega t+kx)}$,其中$\omega$为角频率,$k$为波矢。

十、正弦定理

在任意三角形$\bigtriangleup ABC$中,角$、、A、B、C$所对的边长分别为$、、a、b、c$,三角形的外接圆半径为$R$,则有:

正弦定理
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}或\frac{c}{\sin (A+B)}=2R$
$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{abc}{4R}$
$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C或\sin(A+B)$

正弦定理是在物理竞赛或者高中物理中常用到却容易被人忽略的一种思路,利用正弦定理可以很容易得到边角关系从而求解未知力,提醒一下$\sin C=\sin[\pi -(A+B)]=\sin(A+B)$这个关系。

十一、余弦定理

余弦定理求边公式余弦定理求角公式
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$c^2 =a^2+b^2-2ab\cos C$$cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

余弦定理解除了我们只能求解直角三角形的限制,在力的合成中,我们可以用余弦定理求解两个成任意角度分力的合力。


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最后修改:2019 年 11 月 08 日 03 : 14 PM
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1 条评论

  1. 孟超 Google Chrome 78.0.3904.70 Linux

    这个总结的厉害了啊